Question

1．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將△AED折起，使DB=2$\sqrt{3}$，O，H分別為AE，AB的中點(diǎn)，平面BDE∩面DOH=l．
（1）求證：直線OH∥直線l；
（2）求證：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求V_D-ABCE．

Answer 1

分析 （1）要證：直線OH∥直線l，只需證明直線OH∥面BDE，只需證明OH∥EB即可；
（2）要證：面ADE⊥面ABCE，只需證明DO⊥AE，DO⊥OB  即 DO⊥面ABCE即可；
（3）V_D-ABCE=$\frac{1}{3}$S_ABCE•DO，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵O、H分別為AE、AB的中點(diǎn)
∴OH∥BE，又OH不在面BDE內(nèi)
∴直線OH∥面BDE．
∵平面BDE∩面DOH=l，
∴直線OH∥直線l；
（2）證明：∵O為AE的中點(diǎn)，AD=DE，
∴DO⊥AE，
∵DO=$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{3}$，BO²=10
∴DB²=DO²+BO²
∴DO⊥OB
∵AE和BO是相交直線
∴DO⊥面ABCE，
又OD在面ADE內(nèi)
∴平面ADE⊥平面ABCE；
（3）解：V_D-ABCE=$\frac{1}{3}$S_ABCE•DO=$\frac{1}{3}×（2+4）×2×\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三棱錐的體積，線面平行的判定，線面垂直和面面垂直的性質(zhì)、判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力、推理論證的能力．