Question

在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃測試中，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就認(rèn)為通過測試，立即停止投籃，否則繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．投籃的方案有以下兩種：方案1：先在A處投一球，以后都在B處投；方案2：都在B處投籃．甲同學(xué)在A處投籃的命中率為0.5，在B處投籃的命中率為0.8．
（Ⅰ）甲同學(xué)選擇方案1．求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分等于4的概率；求甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等可能事件的概率,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）判斷隨機(jī)變量ξ的所有可能取值，求得ξ的分布列，代入期望計算公式計算；
（II）由分布列可得甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為P₁，再計算甲同學(xué)選擇方案2通過測試的概率為P₂，比較大小可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）在A處投籃命中記作A，不中記作

.

A

；在B處投籃命中記作B，不中記作

.

B

；
甲同學(xué)測試結(jié)束后所得總分為4可記作事件

.

A

BB，則P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32
ξ的所有可能取值為0，2，3，4，
則P(ξ=2)=P(

.

A

B

.

B

)+P(

.

A

.

B

B)=P(

.

A

)P(B)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(B)=0.5×0.8×（1-0.8）+0.5×（1-0.8）×0.8=0.16；
P（ξ=3）=P（A）=0.5；
P(ξ=4)=P(

.

A

BB)=P(

.

A

)P(B)P(B)=0.5×0.8×0.8=0.32
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	3	4
P	0.02	0.16	0.5	0.32

Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1，
（Ⅱ）解：甲同學(xué)選擇方案1通過測試的概率為P₁，選擇方案2通過測試的概率為P₂，
P₁=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896
∵P₂＞P₁
∴甲同學(xué)應(yīng)選擇方案2通過測試的概率更大．

點(diǎn)評：本題考查了離散性隨機(jī)變量的分布列，及由分布列求期望與概率，判定隨機(jī)變量的數(shù)值及計算對應(yīng)的概率是解題的關(guān)鍵．