Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能證明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系D-xyz，由∠DBE=60°，推導出DE=3

6

，AF=

6

，由此利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．
（Ⅲ）設M（t，t，0）．則

AM

=（t-3，t，0），用向量法能確定點M坐標為（2，2，0），使得AM∥平面BEF．

解答： （Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC．…2分
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE．…4分
（Ⅱ）解：∵DA，DC，DE兩兩垂直，
∴建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示．
∵BE與平面ABCD所成角為60°，
即∠DBE=60°，…5分
∴

ED

DB

=

3

，由AD=3，
知DE=3

6

，AF=

6

．…6分
則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，

6

），
E（0，0，

6

），B（3，3，0），C（0，3，0）
∴

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

），…7分
設平面BEF的法向量為n=（x，y，z），
則

n• BF =0 n• EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，則n=（4，2，

6

）．…8分
∵AC⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0），
∴cos＜n，

CA

＞=

n• CA

|n|| CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．…9分
∵二面角為銳角，∴二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．…10分
（Ⅲ）解：點M是線段BD上一個動點，
設M（t，t，0）．則

AM

=（t-3，t，0），
∵AM∥平面BDE，∴

AM•n

=0，…11分
即4（t-3）+2t=0，解得t=2．…12分
此時，點M坐標為（2，2，0），BM=

1

3

BD，符合題意．…13分

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點M的坐標的確定與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．