Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ ，g（x）=2ln（x+1）+e﹣x ．
（1）x∈（﹣1，+∞）時(shí)，證明：f（x）＞0；
（2）a＞0，若g（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ex﹣ ，f′（x）=ex﹣x﹣1，

令p（x）=f′（x）=ex﹣x﹣1，p′（x）=ex﹣1，

在（﹣1，0）內(nèi)，p′（x）＜0，p（x）單減；在（0，+∞）內(nèi)，p′（x）＞0，p（x）單增．

所以p（x）的最小值為p（0）=0，即f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（x）＞f（﹣1）＞0．

（2）解：令h（x）=g（x）﹣（ax+1），則h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，

令q（x）= ﹣e﹣x﹣a，q′（x）= ﹣ ．

由（1）得q′（x）＜0，則q（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減．

①當(dāng)a=1時(shí)，q（0）=h′（0）=0且h（0）=0．

在（﹣1，0）上h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在（0，+∞）上h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

所以h（x）的最大值為h（0），即h（x）≤0恒成立．

②當(dāng)a＞1時(shí)，h′（0）＜0，

x∈（﹣1，0）時(shí)，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＜ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（﹣1，0）．

即x∈（ ，0）時(shí)h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，

又h（0）=0，所以此時(shí)h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．

③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h′（0）＞0，

x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）= ﹣e﹣x﹣a＞ ﹣1﹣a=0，解得x= ∈（0，+∞）．

即x∈（0， ）時(shí)h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，

又h（0）=0，所以此時(shí)h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．

綜上，a的取值為1．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令p（x）=f′（x），推出p′（x）=ex﹣1，
求出函數(shù)p（x）的最小值為p（0）=0，判斷f（x）在（﹣1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，證明f（x）＞0．（2）令h（x）=g（x）﹣（ax+1），得到h′（x）= ﹣e﹣x﹣a，構(gòu)造q（x）= ﹣e﹣x﹣a，求出q′（x）= ﹣ ．求出q（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，①當(dāng)a=1時(shí)，求出h（x）的最大值為h（0），即h（x）≤0恒成立．②當(dāng)a＞1時(shí)，h′（0）＜0，推出h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，推出h（x）＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾．推出a的取值為1．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．