Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出右邊函數(shù)的最大值即可.

試題解析：

解：（1）

①若， ， 在上單調(diào)遞增；

②若，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時(shí)， ，即

令，則

令，則

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

又， ，所以，當(dāng)時(shí)， ，即，

所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，即，

所以單調(diào)遞增，所以，所以

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.