Question

【題目】如圖，已知梯形CDEF與△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，連接BC，BF．

（Ⅰ）若G為AD邊上一點(diǎn)，DG= DA，求證：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵梯形CDEF與△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF， ∴以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，連接BC，BF．G為AD邊上一點(diǎn)，DG= DA，
∴E（0，4，0），G（0，0， ），B（3，0，4 ），C（12，0，0），F(xiàn)（9，4，0），
=（9，0，﹣4 ）， =（6，4，﹣4 ）， =（0，﹣4， ），
設(shè)平面BCF的法向量 =（x，y，z），
則 ，取z=3 ，得 =（4，3，3 ），
∵ =﹣12+12=0，EG平面BCF，
∴EG∥平面BCF．
解：（Ⅱ） =（3，﹣4，4 ）， =（9，0，0），
設(shè)平面BEF的法向量 =（a，b，c），
則 ，取c=1， =（0， ，1），
平面BFC的法向量 =（4，3，3 ），
設(shè)二面角E﹣BF﹣C的平面角為θ，
則cosθ= = = ．
∴二面角E﹣BF﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EG∥平面BCF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BF﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．