Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，記數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和為T_n，當(dāng)T_n≤λ恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)，由題意列式求出首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把等差數(shù)列的通項(xiàng)代入b_n=

1

anan+1

，整理后利用列項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和為T_n，放縮后可得滿足T_n≤λ恒成立的實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意有a1+2d=5，  (a1+d)2=a1(a1+3d)，
又a₁≠0，
解得：a1=

5

3

，d=

5

3

，
∴an=

5

3

n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由題意an=

5

3

n，
∴bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

9

25

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

9

25

(1-

1

n+1

)＜

9

25

．
∵T_n≤λ恒成立，
∴λ的取值范圍是：λ≥

9

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．