Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax．
（1）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=4x+1平行，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用斜率求出a，即可．
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下，討論a≥0，a＜0，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答 解（1）：因?yàn)閒′（x）=$\frac{1}{x}$+a  所以f′（1）=a+1  即切線的斜率k=a+1，
又f（1）=a，
所以切線方程為：y-a=（a+1）（x-1），
即y=（a+1）x-1，
又切線與直線y=4x+1平行
所以a+1=4，即a=3，
（2）：由（1）得 f′（x）=$\frac{1}{x}$+a=$\frac{ax+1}{x}$，x＞0，
若a＞0，則f′（x）＞0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
若a＜0，則 當(dāng)ax+1＞0即0＜x＜-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)ax+1＜0即x＞-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上為單調(diào)遞增函數(shù)，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與極值，切線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．