Question

【題目】已知函數f（x）=（x2+ax+a）e﹣x ， （a為常數，e為自然對數的底）．
（1）當a=0時，求f′（2）；
（2）若f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設由f（x）的極大值構成的函數為g（a），將a換元為x，試判斷曲線y=g（x）是否能與直線3x﹣2y+m=0（m為確定的常數）相切，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）當a=0時，f（x）=x2e﹣x，f'（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=xe﹣x（2﹣x）．

所以f'（2）=0．

（2）解：f'（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]=﹣e﹣xx[x﹣（2﹣a）]．

令f'（x）=0，得x=0或x=2﹣a．

若2﹣a=0，即a=2時，f'（x）=﹣x2e﹣x≤0恒成立，

此時f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上單調遞減，沒有極小值；

當2﹣a＞0，即a＜2時，

若x＜0，則f'（x）＜0．

若0＜x＜2﹣a，則f'（x）＞0．

所以x=0是函數f（x）的極小值點．

當2﹣a＜0，即a＞2時，

若x＞0，則f'（x）＜0．

若2﹣a＜x＜0，則f'（x）＞0．

此時x=0是函數f（x）的極大值點．

綜上所述，使函數f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2．

（3）解：由（2）知當a＜2，且x＞2﹣a時，f'（x）＜0，

因此x=2﹣a是f（x）的極大值點，極大值為f（2﹣a）=（4﹣a）ea﹣2．

所以g（x）=（4﹣x）ex﹣2（x＜2）．

g'（x）=﹣ex﹣2+ex﹣2（4﹣x）=（3﹣x）ex﹣2．

令h（x）=（3﹣x）ex﹣2（x＜2）．

則h'（x）=（2﹣x）ex﹣2＞0恒成立，即h（x）在區(qū)間（﹣∞，2）上是增函數．

所以當x＜2時，h（x）＜h（2）=（3﹣2）e2﹣2=1，即恒有g'（x）＜1．

又直線3x﹣2y+m=0的斜率為 ，

所以曲線y=g（x）不能與直線3x﹣2y+m=0相切．

【解析】（1）把a=0代入函數解析式，求導后直接把x=2代入導函數解析式計算（2）求出原函數的導函數，解出導函數的零點為0或2﹣a，分2﹣a=0、2﹣a＞0、2﹣a＜0三種情況討論導函數在不同區(qū)間內的符號，判出極小值點，從而得到使f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍；（3）由（2）中的條件，能夠得到x=2﹣a是f（x）的極大值點，求出f（2﹣a），得到g（x），兩次求導得到函數g（x）的導數值小于1，而直線3x﹣2y+m=0的斜率為 ，說明曲線y=g（x）與直線3x﹣2y+m=0不可能相切．