【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:的離心率為,右準線方程為.
求橢圓C的標準方程;
已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A,B兩點,且點A在第三象限內(nèi)為橢圓C的上頂點,記直線MA,MB的斜率分別為,.
若直線l經(jīng)過原點,且,求點A的坐標;
若直線l過點,試探究是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)①;②為定值1.
【解析】
(1)由已知列關(guān)于a,c的方程組,求解可得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓C的標準方程可求;
(2)①設(shè)A(x1,y1),M(0,1),由橢圓對稱性可知B(﹣x1,﹣y1),由點A(x1,y1)在橢圓上,得到,求出k1k2,結(jié)合k1﹣k2,可得k1=1,則直線MA的方程可求,再與橢圓方程聯(lián)立即可求得A的坐標;
②直線l過點(﹣2,﹣1),設(shè)其方程為y+1=k(x+2),與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到k1+k2是定值.
(1)因為橢圓的離心率為,右準線方程為,
所以,
解得.
又因為.
所以橢圓的標準方程為.
(2)設(shè),,為橢圓的上頂點,則.
①因為直線經(jīng)過原點,由橢圓對稱性可知.
因為點在橢圓上,所以,即.
因為,.
所以.
所以,解得或.
因為點在第三象限內(nèi),所以,所以,則直線的方程為.
聯(lián)結(jié)方程組,解得或,所以.
(解出,,也可根據(jù),,求出點的坐標)
②直線過點,設(shè)其方程為.
聯(lián)列方程組,消去可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16k(k﹣1)=0.
當(dāng)時,由韋達定理可知,.
又因為
.
所以為定值1.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的定義域;
(2)若函數(shù)有且僅有一個零點,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)任取,若不等式對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知中心在原點的橢圓C的一個頂點為,焦點在x軸上,右焦點到直線的距離為.
求橢圓的標準方程;
若直線l:交橢圓C于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為點與點M不重合,且直線與x軸的交于點P,求的面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
()當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程.
()求的單調(diào)區(qū)間.
()求證:當(dāng)時,函數(shù)存在最小值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:.
若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求切線l的方程;
已知點為直線上一點,由點P向圓C引一條切線,切點為M,若,求點P的坐標.
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【題目】已知f(x)=x2-a|x-1|-1,a∈R.
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)≥0對x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍;
(3)寫出f(x)在[-2,2]上的最大值g(a).(不需要解答過程)
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【題目】已知二次函數(shù),滿足,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王都在早上7:30--7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,求小張比小王至少早5分鐘到校的概率.
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