Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=cos2α y=1+2cosα.

(α為參數(shù)），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，1）；若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
（Ⅰ）請(qǐng)將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)（限定ρ≥0，-π＜θ≤π）；
（Ⅱ）若點(diǎn)N是曲線C上的任一點(diǎn)，求線段MN的長度的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出ρ=

(-1)2+12

=

2

，根據(jù)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，且tanθ=

1

-1

=-1，求出θ=

3π

4

，即可得到點(diǎn)M的極坐標(biāo)．
（Ⅱ）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式并化簡(jiǎn)可得求出|MN|=

(cos2α+3)2-8

，故當(dāng)cosα=0時(shí)，|MN|取最小值1；
當(dāng)cosα=±1時(shí)，|MN|取最大值2

2

．

解答：解：（Ⅰ）ρ=

(-1)2+12

=

2

，又點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，且tanθ=

1

-1

=-1，∴θ=

3π

4

．
即點(diǎn)M的極坐標(biāo)(

2

，

3π

4

)．
（Ⅱ）|MN|=

(x+1)2+(y-1)2

=

(cos2α+1)2+(1+2cosα-1)2

=

cos4α+6cos2α+1

=

(cos2α+3)2-8

，
故當(dāng)cosα=0時(shí)，|MN|取最小值1；當(dāng)cosα=±1時(shí)，|MN|取最大值2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．