Question

已知y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R
（1）當(dāng)y取最大值時，求x的集合
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)的值域
（3）該函數(shù)的圖象可由y=sinx經(jīng)過怎樣的平移變化和伸縮變化得到？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)題意利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，由此利用正弦函數(shù)的值域求得函數(shù)的最大值．
（2）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．
（3）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
故函數(shù)y的最大值為

1

2

+

5

4

=

7

4

，此時x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）若x∈[0，

π

2

]，則 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，

7

4

]．
（3）把y=sinx的圖象向左平移

π

6

個單位，可得函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="fb4crjg" class="MathJye">

1

2

倍，縱坐標不變，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象；
再把所得圖象上點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="bgul2pj" class="MathJye">

1

2

倍，橫坐標不變，可得函數(shù)y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象向上平移

5

4

個單位，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．