Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，函數(shù)在上有三個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若常數(shù)，且對任何，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，；當時，；當時，

【解析】

（1）時，方程有三個解，即函數(shù)與在上有三個交點，結合函數(shù)的圖象，可得出結論；

（2）不等式恒成立，由，可得，令，可知，所以恒成立，只需，分別求出，即可得出答案.

（1）時，，令，則.

令，則，

作出的圖象，如下圖：

當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，且，.

方程在上有三個解，即函數(shù)與在上有三個交點，結合圖形可得，解得.

（2）由題意，恒成立，

由，可得，即，所以，

令，由，可知，所以恒成立，只需滿足.

①因為函數(shù)在上單調遞增，所以；

②函數(shù)在上的單調性為：在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，當，即時，；

當，即時，；

當，即時，；

綜上，當時，；當時，；當時，.