Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*）．
（1）求S1 ， S2 ， S3的值；
（2）求出Sn及數列{an}的通項公式；
（3）設bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*），求數列{bn}的前n項和為Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），

∴n≥2時，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．

∴n=1時， ，解得a1= =S1．

n=2時， ，解得S2= ．

同理可得：S3=

（2）解：由（1）可得：n≥2時，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．

化為：Sn= ．（*）

猜想Sn= ．

n≥2時，代入（*），左邊= ；右邊= = ，

∴左邊=右邊，猜想成立，n=1時也成立．

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ，n=1時也成立．

∴Sn= ，an=

（3）解：bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 ，

∴n=2k（k∈N*）時，數列{bn}的前n項和為

Tn= ﹣ + +…+ ﹣

= = ﹣ ．

n=2k﹣1（k∈N*）時，數列{bn}的前n項和為

Tn= ﹣ + +…﹣ +

= = + ．

∴Tn= ×

【解析】（1）由（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），分別取n=1，2，3即可得出．（2）由（1）可得：n≥2時，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．化為：Sn= ．猜想Sn= ．代入驗證即可得出．（3）bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1 =（﹣1）n﹣1 ，對n分類討論，利用“裂項求和”方法即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．