Question

【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形是矩形, ,平面平面.

(1)證明: ；

(2)若, ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】分析：(1) 先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而可得四邊形是菱形,進而可得；（2）以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面的法向量，結合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：(1)證明: 在三棱柱中,，

.

又.

平面.

設與相交于點,與相交于點,連接，

四邊形與均是平行四邊形，

,平面，

，，

是平面與平面所成其中一個二面角的平面角.

又平面平面,

四邊形是菱形,從而.

(2)解:由(1)及題設可知四邊形是菱形, ，

.

以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

,,，

，.

設平面的法向量，

即

令,可得.

又由(1)可知平面,

可取平面的法向量為，

。由圖可知二面角的平面角為銳角,所以它的余弦值為.