Question

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6）．
（1）求∠A的平分線所在直線的方程；
（2）若直線kx-y-2k-1=0與△ABC的邊AB，AC相交，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件利用兩點(diǎn)式方程分別求出直線AB、直線線AC和直線BC的方程，設(shè)∠A的平分線與直線BC交于點(diǎn)P（a，b），則|PA|=|PB|，且P（a，b）在直線BC：5x+y-21=0上，由此列出方程組能求出P點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出∠A的平分線所在直線方程；
（2）由直線kx-y-2k-1=0與△ABC的邊AB，AC相交，得到k≠kAB=-

1

3

，且k≠k_AC=2，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（4，1），C（3，6），
∴直線AB的方程為：

y-2

x-1

=

1-2

4-1

，整理，得x+3y-7=0，
直線AC的方程為：

y-2

x-1

=

6-2

3-1

，整理，得2x-y=0，
直線BC的方程為：

y-1

x-4

=

6-1

3-4

，整理，得5x+y-21=0，
設(shè)∠A的平分線與直線BC交于點(diǎn)P（a，b），則|PA|=|PB|，
∴

|a+3b-7|

1+9

=

|2a-b|

4+1

，
整理，得a²-b²-2ab+2a+6b-7=0，①
又∵P（a，b）在直線BC：5x+y-21=0上，
∴5a+b-21=0，②
由①②聯(lián)立，解得

a=5- 2 b=5 2 -4

或

a=5+ 2 b=-5 2 -4

（舍），
∴∠A的平分線過點(diǎn)A（1，2），P（5-

2

，5

2

-4），
∴∠A的平分線所在直線方程為：

y-2

x-1

=

5 2 -4-2

5- 2 -1

，
整理，得（5

2

-6）x-（4-

2

）y+14-7

2

=0．
（2）∵直線kx-y-2k-1=0與△ABC的邊AB，AC相交，
∴k≠kAB=-

1

3

，且k≠k_AC=2，
∴k的取值范圍是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的平分線所在直線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、點(diǎn)到直線距離公式、直線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．