Question

下圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M（點(diǎn)A對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)1），如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過(guò)程中，圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度，如圖③，圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
給出下列命題：①f（

1

4

）=1；
②f（

1

2

）=0；
③f（x）是奇函數(shù)；
④f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
則所有真命題的序號(hào)是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題中對(duì)映射運(yùn)算描述，對(duì)四個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)危?br />①m=

1

4

此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)m=

1

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，即可求出n；
③可由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)確定正誤；
④可由圖3，由M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性．

解答： 解：如圖，因?yàn)镸在以（1，1-

1

2π

）為圓心，

1

2π

為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
對(duì)于①當(dāng)m=

1

4

時(shí)．M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線AM方程y=x+1，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），
故f（

1

4

）=-1，則①錯(cuò)；
對(duì)于②，當(dāng)m=

1

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，
此時(shí)點(diǎn)N（0，0），所以f（

1

2

）=0，則②對(duì)；
對(duì)于③，因?yàn)閷?shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）不存在奇偶性．則③錯(cuò)；
對(duì)于④，當(dāng)實(shí)數(shù)m越來(lái)越大時(shí)，
如圖直線AM與x軸的交點(diǎn)N（n，0）也越來(lái)越往右，
即n也越來(lái)越大，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則④對(duì)．
其中正確的為②④．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，由此對(duì)四個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無(wú)法下手，題目較抽象．