Question

如圖為喜宴中的一個(gè)形如正三棱錐的四層香檳臺(tái)，搭建香檳塔時(shí)，先用10個(gè)香檳杯搭出一個(gè)等邊三角形形狀作為底層，然后三個(gè)香檳杯上疊一個(gè)香檳杯，向上搭建．若由上而下，把每一層的香檳杯數(shù)量組成數(shù)列{a_n}．
（1）觀察圖中的變化規(guī)律，若如上方式搭建一個(gè)n層的香檳臺(tái)，則最底層香檳杯數(shù)量a_n應(yīng)為多少？
（2）記b_n=2 

2an

n+1

，求b₁，b₂，b₃；
（3）判斷數(shù)列{b_n}是什么數(shù)列？并求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a_n=a_n-1+n，利用累加法即可求得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得b_n=2ⁿ，即可求得結(jié)論；
（3）由b_n=2ⁿ，可知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求得前10項(xiàng)的和．

解答： 解：（1）由題意可知，香檳杯數(shù)量從上向下依次為1，3，6.10，15，…，
∴a_n=a_n-1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴a_n=

n(n+1)

2

；
（2）由（1）可得b_n=2 

2an

n+1

=2ⁿ，
∴b₁=2，b₂=4，b₃=8；
（3）由（2）可得b_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=

2(1-210)

1-2

=2¹¹-2=2046．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題．