【題目】已知函數(shù)(常數(shù)).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若曲線與直線相切,證明: .

【答案】(1) 的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為;(2)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)曲線與直線的切點為,由,可得 ,其中,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得,即.

試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為, .

,則,故單增.

,所以

時, ,因而, 單增,即的單增區(qū)間為;

時, ,因而, 單減,即的單減區(qū)間為.

(Ⅱ)證明:設(shè)曲線與直線的切點為

因為,所以,即.

因為直線經(jīng)過切點,所以

于是,有,即.

,則,故單增,

, ,

所以有唯一零點,且.

再令,其中,

,故單減,

所以,即.

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)證明不等式和導數(shù)的幾何意義,屬于難題.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進一步求函數(shù)最值的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對求導;③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.

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A.
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