【題目】已知函數(shù)

(1)設

①若,求函數(shù)的零點;

②若函數(shù)存在零點,求的取值范圍.

(2)設,若對任意恒成立,試求的取值范圍.

【答案】(1)1,;(2).

【解析】

分析:(1)①將代入解析式,分類討論解方程即可得結果;②討論的符號,同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結合可得結果;(2)對任意恒成立,等價于的最大值與最小值的差不大于,分三種情況討論函數(shù)的單調性,分別求出最大值與最小值,綜合三種情況可得結果.

詳解(1)F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|,

①若a=,則由F(x)=x﹣|x|﹣=0得: |x|=x﹣,

當x≥0時,解得:x=1;

當x<0時,解得:x=(舍去);

綜上可知,a=時,函數(shù)y=F(x)的零點為1;

②若函數(shù)y=F(x)存在零點,則x﹣a=a|x|,

當a>0時,作圖如下:

由圖可知,當0<a<1時,折線y=a|x|與直線y=x﹣a有交點,即函數(shù)y=F(x)存在零點;

同理可得,當﹣1<a<0時,求數(shù)y=F(x)存在零點;

又當a=0時,y=x與y=0有交點(0,0),函數(shù)y=F(x)存在零點;

綜上所述,a的取值范圍為(﹣1,1).

(2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x﹣a+a|x|,x∈[﹣2,2],

∴當﹣2≤x<0時,h(x)=(1﹣a)x﹣a;

當0≤x≤2時,h(x)=(1+a)x﹣a;

又對任意x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)|≤6恒成立,

則h(x1max﹣h(x2min≤6,

①當a≤﹣1時,1﹣a>0,1+a≤0,h(x)=(1﹣a)x﹣a在區(qū)間[﹣2,0)上單調遞增;

h(x)=(1+a)x﹣a在區(qū)間[0,2]上單調遞減(當a=﹣1時,h(x)=﹣a);

∴h(x)max=h(0)=﹣a,又h(﹣2)=a﹣2,h(2)=2+a,

∴h(x2min=h(﹣2)=a﹣2,

∴﹣a﹣(a﹣2)=2﹣2a≤6,解得a≥﹣2,

綜上,﹣2≤a≤﹣1;

②當﹣1<a<1時,1﹣a>0,1﹣a>0,∴h(x)=(1﹣a)x﹣a在區(qū)間[﹣2,0)上單調遞增,

且h(x)=(1+a)x﹣a在區(qū)間[0,2]上也單調遞增,

∴h(x)max=h(2)=2+a,h(x2min=h(﹣2)=a﹣2,

由a+2﹣(a﹣2)=4≤6恒成立,即﹣1<a<1適合題意;

③當a≥1時,1﹣a≤0,1+a>0,h(x)=(1﹣a)x﹣a在區(qū)間[﹣2,0)上單調遞減

(當a=1時,h(x)=﹣a),h(x)=(1+a)x﹣a在區(qū)間[0,2]上單調遞增;

∴h(x)min=h(0)=﹣a;

又h(2)=2+a>a﹣2=h(﹣2),

∴h(x)max=h(2)=2+a,

∴2+a﹣(﹣a)=2+2a≤6,解得a≤2,又a≥1,

∴1≤a≤2;

綜上所述,﹣2≤a≤2.

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