Question

點(diǎn)A時(shí)橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)上且

OA

•

OP

=48．則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)向量共線定理設(shè)

OP

=λ

OA

（λ＞1），結(jié)合題意算出λ=

48

| OA |2

．設(shè)A（x，y）、P（m，n），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)得m=λx═

48

9 x + 16 25 x

，再利用基本不等式求最值，可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值．

解答： 解：∵點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上，
∴設(shè)

OP

=λ

OA

（λ＞1），
由

OA

•

OP

=48得λ|

OA

|²=48，可得λ=

48

| OA |2

．
設(shè)A（x，y），P（m，n），則
m=λx=

48

| OA |2

•x=

48

x2+y2

•x=

48

9 x + 16 25 x

≤

48

2 9 x • 16 25 x

=10，
由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)

9

x

=

16

25

x，即A點(diǎn)橫坐標(biāo)x=

15

4

時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、基本不等式與橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．