Question

【題目】橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1 ， F2在x軸上，離心率e= ．

（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓E的方程為

由e= ，得 ，b2=a2﹣c2=3c2，∴

將A（2，3）代入，有 ，解得：c=2，

∴橢圓E的方程為

（2）解：由（1）知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），所以直線(xiàn)AF1的方程為y= （x+2），

即3x﹣4y+6=0，直線(xiàn)AF2的方程為x=2，由橢圓E的圖形知，∠F1AF2的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為正數(shù)

設(shè)P（x，y）為∠F1AF2的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)上任一點(diǎn)，則有 =|x﹣2|

若3x﹣4y+6=5x﹣10，得x+2y﹣8=0，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去．

于是3x﹣4y+6=10﹣5x，即2x﹣y﹣1=0．

所以，∠F1AF2的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為2x﹣y﹣1=0

【解析】（1）設(shè)橢圓方程為 ，把點(diǎn)A（2，3）代入橢圓方程，把離心率e= 用a，c表示，再根據(jù)b2=a2﹣c2 ， 求出a2 ， b2 ， 得橢圓方程；（2）可以設(shè)直線(xiàn)l上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得 =|x﹣2|．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．