Question

為了了解青少年視力情況，某市從高考體檢中隨機(jī)抽取16名學(xué)生的視力進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)醫(yī)生用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）如圖所示．
（1）若視力測(cè)試結(jié)果不低丁5.0，則稱(chēng)為“好視力”，求校醫(yī)從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“好視力”的概率；
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該市所有參加高考學(xué)生的總體數(shù)據(jù)，若從該市參加高考的學(xué)生中任選3人，記ξ表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖

專(zhuān)題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，至多有1人是“好視力”包括有一個(gè)人是好視力和有零個(gè)人是好視力，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果
（2）由于從該校任選3人，記ξ表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，算出概率，寫(xiě)出分布列和期望．

解答： 解：（1）設(shè)A_i表示所取的3人中有i個(gè)人是“好視力”，設(shè)事件A：至多有一個(gè)人是“好視力”
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

；
（2）每個(gè)人是“好視力”的概率為

1

4

ξ的可能取值為0、1、2、3，則
PP（ξ=0）=(1-

1

4

)3=

27

64

，P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

4

•(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

4

)2•

3

4

=

9

64

，P（ξ=3）=(

1

4

)3=

1

64

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（10分）
∴Eξ=1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．                      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖和離散型隨機(jī)變量的概率．要求會(huì)讀莖葉圖，掌握互斥事件的概率加法公式和n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的概率求法．確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．