Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+x+1，g（x）=f′（x），x∈R
（Ⅰ）證明：對任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的圖象在x=x₀處的兩條切線斜率相等；
（Ⅱ）求實數(shù)a的范圍，使得f（x），g（x）均在[2，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）證明：對任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的圖象在x=x₀處的兩條切線斜率相等；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+x+1，
∴g（x）=f′（x）=3x²-2ax+1，
則g′（x）=6x-2a，
令f′（x₀）=g′（x₀），即3x₀²-2ax₀+1=6x₀-2a，
即3x₀²-（2a+6）x₀+2a+1=0，
則判別式△=（2a+6）²-12（2a+1）=4a²+24＞0．
即對任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的圖象在x=x₀處的兩條切線斜率相等；
（Ⅱ）∵g（x）=3x²-2ax+1，∴要使g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則對稱軸x=

a

3

≤2，即a≤6．
要使f（x）均在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）=3x²-2ax+1≥0，
即2a≤

3x2+1

x

=3x+

1

x

恒成立，
∴2a≤（3x+

1

x

）_min，
∵設(shè)h（x）=3x+

1

x

，x∈[2，+∞），
∴h′（x）=3-

1

x2

，
當(dāng)x∈[2，+∞），h′（x）=3-

1

x2

＞0，
則h（x）的最小值為h（2）=6-

1

2

=

13

2

，
∴2a≤

13

2

，即a≤

13

4

，
故實數(shù)a的范圍是（-∞，

13

4

]．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．