Question

已知定義在R上的函數f（x）為奇函數，且函數f（2x+1）的周期為5，若f（1）=5，則f（2009）+f（2010）的值為

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用函數f（2x+1）的周期性寫出一個等式，通過換元得到f（x）的周期，利用周期性得到f（2009）=f（-1），f（2010）=f（0），利用奇函數求出f（-1），f（0）的值．

解答： 解：∵函數f（2x+1）的周期是5
∴[2（x+5）+1]=f（2x+1）
即f（2x+11）=f（2x+1）
即f（y+10）=f（y）
故函數f（x）的周期是10
∴f（2009）=f（-1），f（2010）=f（0）
∵函數f（x）為定義在R上的奇函數
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）=-5
∴f（2009）+f（2010）的值為-5．
故答案為：-5．

點評：解決函數的周期性、單調性、奇偶性的問題，一般利用各個性質的定義得到一些已知條件中沒有的等式，通過它們，判斷出函數的其它性質．