Question

在△AOB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0，

π

2

]，則△AOB面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出單位圓O，單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，過(guò)M，N作y軸和x軸的平行線(xiàn)交于P，角θ如圖所示，所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數(shù)公式得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及角度的范圍即可得到三角形面積的最小值．

解答： 解：如圖單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，
過(guò)M，N作y軸和x軸的平行線(xiàn)交于P，
則S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ，
因?yàn)棣取剩?，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以當(dāng)2θ=

π

2

即θ=

π

4

時(shí)，sin2θ最大為1，
三角形的面積最小，最小面積為

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，利用運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題，掌握利用正弦函數(shù)的值域求函數(shù)最值的方法，是一道中檔題．