【題目】已知函數(shù),,.
(1)若,,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)設.
(i)若函數(shù)有極值,求實數(shù)的取值范圍;
(ii)若(),求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)求出的導數(shù),解關于導函數(shù)的方程,從而求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;
(2)(i)=,定義域為(0,+∞),,對a分類討論結合極值的概念得到實數(shù)的取值范圍;
(ii) 不妨取,欲證,只需證明.
(1)當,時,,定義域為,
.
令,得;令,得.
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+∞).
(2)(i) =,定義域為(0,+∞),
,
①當時,,函數(shù)在(0,+∞)上為單調遞增函數(shù),
不存在極值.
②當時,令,得,,
所以,易證在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù),所以當時,取得極大值.
所以若函數(shù)有極值,實數(shù)的取值范圍是.
(ii)由(i)知當時,不存在,使得,當時,存在,使得,不妨取,
欲證,只需證明.
因為函數(shù)在上為減函數(shù),故只需證,
即證,即證.
令,
則.
設,則,
因為,,所以在上為減函數(shù),
,
所以在上為增函數(shù),所以,
即,故成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓經過點,且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的兩個點,線段的中垂線的斜率為且直線與交于點,為坐標原點,求證:三點共線.
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【題目】下面個說法中正確的序號為_____.
①函數(shù)有兩個零點;
②函數(shù)的圖象關于點對稱;
③若是第三象限角,則的取值集合為;
④銳角三角形中一定有;
⑤已知(且),同一平面內有、、、四個不同的點,若,則、、必定三點共線.
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【題目】如圖,已知函數(shù),點、分別是的圖象與軸、軸的交點,、分別是的圖象上橫坐標為、的兩點,軸,且、、三點共線.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若,,求;
(3)若關于的函數(shù)在區(qū)間上恰好有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù).
求函數(shù)的解析式,并寫出定義域;
設,判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性:
若中的函數(shù)在區(qū)間內的圖像是不間斷的光滑曲線,求證:函數(shù)在區(qū)間內必有唯一的零點(假設為),且.
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【題目】實力相等的甲、乙兩隊參加乒乓球團體比 賽,規(guī)定5局3勝制(即5局內誰先贏3局就算勝出并停止比賽).
⑴試求甲打完5局才能取勝的概率.
⑵按比賽規(guī)則甲獲勝的概率
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【題目】已知橢圓的長軸長為4,且短軸長是長軸長的一半.
(1)求橢圓的方程;
(2)經過點作直線,交橢圓于,兩點.如果恰好是線段的中點,求直線的方程.
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