Question

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為邊AB的中點，BD與CE交于點P，若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}（x，y∈R）$，則2x+y=；若點Q是△BCP內部（包括邊界）一動點，且$\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}（m，n∈R）$，則m+2n的取值范圍為[1，3]．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，可得結論；考慮3個頂點位置的取值，可得結論．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，∴2x+y=$\frac{5}{3}$；
Q在P點時，m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$，∴m+2n═$\frac{4}{3}$；
Q在B點時，m=1，n=0，∴m+2n=1；
Q在C點時，m=1，n=1，∴m+2n=3，
∴m+2n的取值范圍為[1，3]．
故答案為$\frac{5}{3}；[1，3]$．

點評 本題考查向量的線性運算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．