Question

13．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則（　�。�

• A． $\frac{1}{16}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{x{f}^{′}（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{f（1）}{1}$＜$\frac{f（2）}{4}$，
∴$\frac{f（1）}{f（2）}$$＜\frac{1}{4}$．
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{x{f}^{′}（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴$\frac{f（1）}{1}$＞$\frac{f（2）}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$．
綜上可得：$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$$＜\frac{1}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．