Question

如圖所示，一科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東α角的射線OZ方向航行，而在離港口（a為正常數(shù)）海里的北偏東β角的A處有一個(gè)供給科考船物資的小島，其中，．現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)沿海岸線港口O正東m（）海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經(jīng)測(cè)算當(dāng)兩船運(yùn)行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時(shí)，這種補(bǔ)給最適宜．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S（m）；
（2）應(yīng)征調(diào)m為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜．

Answer 1

【答案】分析：先以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系．
（1）先求出直線OZ的方程，然后根據(jù)β的正余弦值和OA的距離求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到直線AB的方程，然后再與直線OZ的方程聯(lián)立求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式可得到答案．
（2）根據(jù)（1）中S（m）的關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，直線OZ的方程為y=3x①，
（1）設(shè)A（x，y），∵cosβ=，∴sinβ=，
則x=asinβ=3a，y=acosβ=2a，∴A（3a，2a）．
又B（m，0），則直線AB的方程為y= （x-m） ②
由①、②解得，C（，），
∴S（m）=S_△OBC=|OB||y_c|=×m×=（m＞a）．
（2）S（m）==a[（m-a）++a]≥
當(dāng)且僅當(dāng)m-a=，即m=時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)m=海里時(shí)，補(bǔ)給最適宜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用、三角形的面積公式、基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的建模思想和轉(zhuǎn)化思想．