Question

【題目】為了了解居民的家庭收入情況，某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了100戶家庭進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這些家庭的月收入在3000元到10000元之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該社區(qū)居民的家庭月收入（單位：百元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù).若落在區(qū)間的左側(cè)，則可認(rèn)為該家庭屬“收入較低家庭”，社區(qū)將聯(lián)系該家庭，咨詢收入過(guò)低的原因，并采取相應(yīng)措施為該家庭提供創(chuàng)收途徑.若該社區(qū)家庭月收入為4100元，試判斷家庭是否屬于“收入較低家庭”，并說(shuō)明原因；

（2）將樣本的頻率視為總體的概率.

①?gòu)脑撋鐓^(qū)所有家庭中隨機(jī)抽取戶家庭，若這戶家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；

②在①的條件下，某生活超市贊助了該社區(qū)的這次調(diào)查活動(dòng)，并為這次參與調(diào)查的家庭制定了贈(zèng)送購(gòu)物卡的活動(dòng)，贈(zèng)送方式為：家庭月收入低于的獲贈(zèng)兩次隨機(jī)購(gòu)物卡，家庭月收入不低于的獲贈(zèng)一次隨機(jī)購(gòu)物卡；每次贈(zèng)送的購(gòu)物卡金額及對(duì)應(yīng)的概率分別為：

贈(zèng)送購(gòu)物卡金額（單位：元）	100	200	300
概率

則家庭預(yù)期獲得的購(gòu)物卡金額為多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）家庭不屬于“收入較低家庭”，詳見解析（2）①②元

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算該社區(qū)居民的家庭月收入平均值，計(jì)算，比較可得；

（2）①用樣本的頻率視為總體的概率，計(jì)算出月收入低于8000元的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到不等式，解得即可；②由（1）可知該家庭可獲贈(zèng)兩次隨機(jī)購(gòu)物卡，設(shè)所獲得的購(gòu)物卡金額為隨機(jī)變量，則的取值分別為200，300，400，500，600，分別計(jì)算出概率，求出期望即可；

解：（1）該社區(qū)居民的家庭月收入平均值為：

（百元）

又因?yàn)樵撋鐓^(qū)居民的家庭月收入（單位：百元）近似地服從正態(tài)分布

所以，故

該社區(qū)家庭月收入為4100元百元，故家庭不屬于“收入較低家庭”.

（2）①將樣本的頻率視為總體的概率，由頻率分布直方圖可知，抽取一戶家庭其月收入低于8000元的概率為

隨機(jī)抽取戶家庭月收入均低于8000元的概率為，由題意知，解得

②由（1）知百元元，故家庭月收入低于，可獲贈(zèng)兩次隨機(jī)購(gòu)物卡，設(shè)所獲得的購(gòu)物卡金額為隨機(jī)變量，則的取值分別為200，300，400，500，600

，

，

則家庭預(yù)期獲得的購(gòu)物卡金額為元.