Question

7．直線y=$\frac{1}{2}$與曲線y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）在y軸右側(cè)的交點自左向右依次記為M₁，M₂，M₃，…，則$\overrightarrow{|{M_1}{M_{13}}}$|等于（　�。�

• A． 6π
• B． 7π
• C． 12π
• D． 13π

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的誘導公式與二倍角的正弦可知y=sin2x，依題意可求得M₁，M₂，M₃，…M₁₃的坐標，從而可求|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|的值．

解答 解：∵y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）cos（x-$\frac{π}{2}$）=2cosxsinx=sin2x，
∴由題意得：sin2x=$\frac{1}{2}$，
∴2x=2kπ+$\frac{π}{6}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴x=kπ+$\frac{π}{12}$或x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∵正弦曲線y=sin2x與直線y=$\frac{1}{2}$在y軸右側(cè)的交點自左向右依次記為M₁，M₂，M₃，…，
∴得M₁（$\frac{π}{12}$，0），M₂（$\frac{5π}{12}$，0），M₃（π+$\frac{π}{12}$），M₄（π+$\frac{5π}{12}$），…M₁₃（6π+$\frac{π}{12}$，0），
∴$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$=（6π，0），
∴|$\overrightarrow{{M}_{1}{M}_{13}}$|=6π．
故選A．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，著重考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得M₁，M₁₃的坐標是關(guān)鍵，屬于中檔題．