Question

12．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），且函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱．
（1）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，求實(shí)數(shù)m的最大值和最小值
（2）若當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x），g（x）的解析式，確定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]²-mg（x）+2=0，可化為m=y+$\frac{2}{y}$，即可求實(shí)數(shù)m的最大值和最小值
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，利用當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
函數(shù)y=g（x）的圖象上取點(diǎn)（x，y），關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{2}$-x，y），
代入f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），可得y=2sin（$\frac{5π}{6}$-x），
x∈[0，$\frac{π}{2}$），則$\frac{5π}{6}$-x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴y∈[1，2]，
等式[g（x）]²-mg（x）+2=0，可化為m=y+$\frac{2}{y}$，
∴y=$\sqrt{2}$時(shí)，m的最小值為2$\sqrt{2}$；m=1或2時(shí)，m的最大值為3；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，
∵當(dāng)x∈[0，$\frac{11π}{12}$]時(shí)不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，
∴a$＜-\sqrt{2}$或a$＞\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的最值，考查恒成立，正確求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．