Question

過點C（0，

3

）的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓與x軸交于A（a，0）和B（-a，0）兩點，過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．
（Ⅰ）當直線l過橢圓的右焦點時，求線段CD的長；
（Ⅱ）當點P異于點B時，求證：

OP

•

OQ

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用過點C（0，

3

）的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，求出a，b，可得橢圓方程，直線l的方程為y=-

3

x+

3

，代入橢圓方程，求出交點坐標，即可求線段CD的長；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+

3

（k≠0且k≠

3

2

），代入橢圓方程，求出P，Q的坐標，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由已知得b=

3

，

c

a

=

1

2

，得a=2，
所以，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
橢圓的右焦點為F（1，0），
此時直線l的方程為y=-

3

x+

3

．
由

y=- 3 x+ 3 3x2+4y2=12.

解得x1=0，x2=

8

5

．
所以|CD|=

(1+k2)

|x1-x2|=

4

×

8

5

=

16

5

．…（6分）
（Ⅱ）證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，所以直線l與x軸不垂直，即直線的斜率存在．
設直線l的方程為y=kx+

3

（k≠0且k≠

3

2

）…（7分）
代入橢圓的方程，化簡得（3+4k²）x²+8

3

kx=0，解得x₁=0或x₂=

-8 3 k

3+4k2

代入直線l的方程，得y1=

3

或y₂=

3 (3-4k2)

3+4k2

．
所以，D的坐標為(

-8 3 k

3+4k2

，

3 (3-4k2)

3+4k2

)．…（9分）
又直線AC的方程為

x

2

+

y

3

=1，
因為B（-2，0），kBD=

y2-0

x2+2

=-

3

2

2k+ 3

2k- 3

，
所以直線BD的方程為y=-

3

2

2k+ 3

2k- 3

(x+2)．
聯(lián)立解得

x=- 4k 3 y=2k+ 3 .

，即Q(-

4k

3

，2k+

3

)．…（10分）
而P的坐標為P(-

3

k

，0)，
所以

OP

•

OQ

=(-

3

k

，0)•(-

4k

3

，2k+

3

)=4+0=4．
所以

OP

•

OQ

為定值4．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．