Question

四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如圖，其中正視圖是等邊三角形，俯視圖是直角梯形．
（Ⅰ）若F為AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由．
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）判斷總有BF丄CM，可以通過取BC的中點(diǎn)O，連接AO，證明AO⊥CD，然后證明CD⊥面ABC，推出CD⊥BF．BF⊥AC．通過直線與平面垂直的判定定理證明BF⊥面ACD，然后說明BF丄CM．
（Ⅱ）作BH垂直于AD于H點(diǎn)，連HF，∠BHF即為該二面角的平面角，然后解三角形即可求二面角B-AD-C的平面角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：是總有BF丄CM．理由如下：
取BC的中點(diǎn)O，連接AO，
由俯視圖可知，AO⊥平面BCDE，CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD                …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因?yàn)锽F?面ABC，
故CD⊥BF．
因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因?yàn)镃M?面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（2）作BH垂直于AD于H點(diǎn)，連HF，∠BHF即為該二面角的平面角，BC=AB=AC=2，BF=

3

，
CD=2．AD=2

2

，在△AHF中，∠FAH=45°，AH⊥HF，∴HF=

2

2

，
tan∠BHF=

BF

HF

=

3

2 2

=

6

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．