Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1），求證：a_n≤e²．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出n≥2時a_n≥2，從而a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1），兩邊取對數(shù)，得lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．再利用累加法得lna_n＜2，由此能證明a_n＜e²．

解答： 證明：①當(dāng)n=2時，a₂=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+

1

k(k+1)

）a_k+

1

2k

≥2．
這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式成立．
根據(jù)①，②知：a_k≥2對所有n≥2成立．即a_n≥2．
由遞推公式及a_n≥2，得a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

≤（1+

1

n2+n

+

1

2n

）a_n（n≥1）
兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得：
lna_n+1≤ln（1+

1

n2+n

+

1

2n

）+lna_n≤lna_n+

1

n2+n

+

1

2n

，
故lna_n+1-lna_n≤

1

n(n+1)

+

1

2n

（n≥1）．
上式從1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

2

•

1- 1 2n

1- 1 2

=1-

1

n

+1-

1

2n

＜2
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．

點評：本題考查不等式的證明，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，考題時要注意數(shù)學(xué)歸納法、累加法的合理運用．