Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區(qū)間[0，1]內(nèi)的最大值為g（a），試求y=g（a）的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知函數(shù)的對稱軸，然后討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，將a分區(qū)間進行討論，表示出g（a）的表達式，由表達式和a的范圍求出g（a）的最大值和最小值．

解答： 解：由已知得二次函數(shù)的對稱軸為x=

a

2

，
①當(dāng)

a

2

＞1時，即a＞2時，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，所以最大值為g（a）=f（1）=-a²-4；
②當(dāng)

a

2

＜0時，即a＜0時，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，所以最大值為g（a）=f（0）=-a²-4a；
③當(dāng)0≤

a

2

≤1時，即0≤a≤2時，f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在區(qū)間[0，

a

2

]上是減函數(shù)，在[

a

2

，1]上是減函數(shù)，所以最大值為g（a）=f（

a

2

）=-4a；
∴g（a）=

-a2-4，a＞2 -4a，0≤a≤2 -a2-4a，a＜0

，
∴g（a）的最大值為g（-2）=4，沒有最小值，
∴g（a）的值域為（-∞，4]．

點評：本題考察了二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，得到g（a）的表達式，然后求最大值和最小值．