Question

設函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，若對于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由f′（x）=3x²-x-2，利用導數(shù)性質求出x∈[-1，2]時，f（x）_max=f（2）=7，由對于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，得m＞f（x）_max=7，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
由f′（x）=0，得x=-

2

3

，或x=1，
∵f（-1）=

11

2

，f（-

2

3

）=

157

27

，f（1）=

7

2

，f（2）=7，
∴x∈[-1，2]時，f（x）_max=f（2）=7，
∵對于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，
∴m＞f（x）_max=7，
∴實數(shù)m的取值范圍是（7，+∞）．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．是中檔題．