【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且過點(1,).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設與圓O:x2+y2=相切的直線l交橢圓C與A,B兩點,求△OAB面積的最大值,及取得最大值時直線l的方程.
【答案】(I)(Ⅱ)△OAB面積的最大值為,此時直線方程
【解析】
試題分析:(1)運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;(2)討論①當k不存在時,②當k存在時,設直線為y=kx+m,A,B,將直線y=kx+m代入橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,以及直線和圓相切的條件:d=r,結(jié)合基本不等式即可得到所求面積的最大值和直線l的方程
試題解析:(1)由題意可得,e==,a2﹣b2=c2,點(1,)代入橢圓方程,可得
+=1,解得a=,b=1,即有橢圓的方程為;
(2)①當k不存在時,x=±時,可得y=±,S△OAB=××=;
②當k存在時,設直線為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線y=kx+m代入橢圓方程可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
x1+x2=﹣,x1x2=,
由直線l與圓O:x2+y2=相切,可得=,即有4m2=3(1+k2),
|AB|==
==
=≤=2,
當且僅當9k2= 即k=±時等號成立,可得S△OAB=|AB|r≤×2×=,
即有△OAB面積的最大值為,此時直線方程y=±x±1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解小學生的體能情況,抽取了某小學同年級部分學生進行跳繩測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),已知圖中從左到右前三個小組的頻率分別時0.1,0.3,0.4,第一小組的頻數(shù)為5.
(1)求第四小組的頻率?
(2)問參加這次測試的學生人數(shù)是多少?
(3)問在這次測試中,學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第幾小組內(nèi)?
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【題目】已知向量 , ,且 ,f(x)= ﹣2λ| |(λ為常數(shù)),求:
(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求實數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若存在實數(shù)和,使得函數(shù)和對定義域內(nèi)的任意均滿足:,且存在使得,存在使得,則稱直線為函數(shù)和的“分界線”.在下列說法中正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①任意兩個一次函數(shù)最多存在一條“分界線”;
②“分界線”存在的兩個函數(shù)的圖象最多只有兩個交點;
③與的“分界線”是;
④與的“分界線”是或.
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【題目】某農(nóng)場計劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙)進行田間試驗.選取兩大塊地,每大塊地分成小塊地,在總共小塊地中,隨機選小塊地種植品種甲,另外小塊地種植品種乙.
(1)假設,求第一大塊地都種植品種甲的概率;
(2)試驗時每大塊地分成小塊,即,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位:kg/hm2)如下表:
甲 | ||||||||
乙 |
分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗結(jié)果,你認為應該種植哪一品種?
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【題目】在三棱柱中,側(cè)面為矩形, , , 是的中點, 與交于點,且平面.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)若, 的重心為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1=3,通項an與前n項和Sn之間滿足2an=SnSn﹣1(n≥2).
(1)求證 是等差數(shù)列,并求公差;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
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