Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性
①y=x3+

1

x

；       
②y=

2x-1

+

1-2x

；
③y=x⁴+x；       
④y=

x2+2(x＞0) 0(x=0) -x2-2(x＜0)

．

Answer 1

分析：①根據(jù)分母不為零求出函數(shù)的定義域，先判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再驗(yàn)證f（-x）與-f（x）的關(guān)系，最后下結(jié)論；
②根據(jù)偶次被開(kāi)方數(shù)大于等于零求出函數(shù)的定義域，判斷出不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再下結(jié)論；
③由解析式不受任何限制求出定義域?yàn)镽，再驗(yàn)證f（-x）與-f（x）的關(guān)系，最后下結(jié)論；
④將解析式中的范圍并在一起求出定義域?yàn)镽，再分類(lèi)討論x＞0時(shí)和x＜0時(shí)f（-x）與-f（x）的關(guān)系，注意x的范圍代入對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，最后下結(jié)論．

解答：解：①由x≠0得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（-x）=-x3-

1

x

=-f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)．
②由

2x-1≥0 1-2x≥0

得，x=

1

2

，則定義域?yàn)?span id="dwhl9ud" class="MathJye">{

1

2

}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．該函數(shù)不具有奇偶性．
③定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（-x）=x⁴-x≠x⁴+x，f（-x）=x⁴-x≠-（x⁴+x），故其不具有奇偶性．
④定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）=-（-x）²-2=-（x²+2）=-f（x）；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=（-x）²+2=-（-x²-2）=-f（x）；
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；故該函數(shù)為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性判斷方法，先由解析式求出求出函數(shù)的定義域并判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)再下結(jié)論；否則，驗(yàn)證f（-x）與-f（x）的關(guān)系，最后下結(jié)論．