Question

定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在，且滿足

f(x)

f′(x)

＜x，則下列不等式成立的是（　�。�

• A、3f（2）＜2f（3）
• B、3f（4）＜4f（3）
• C、2f（3）＜3f（4）
• D、以上結(jié)論都不對

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：依題意，f′（x）＜0，

f(x)

f′(x)

＜x?

f(x)-f′(x)•x

f′(x)

＜0⇒[

x

f(x)

]′＞0，利用h（x）=

x

f(x)

為（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）＜0，
又∵

f(x)

f′(x)

＜x，
∴

f(x)-f′(x)•x

f′(x)

＜0?

f(x)-f′(x)•x

[f′(x)]2

＞0?[

x

f(x)

]′＞0，
設(shè)h（x）=

x

f(x)

，則h（x）=

x

f(x)

為（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∵

f(x)

f′(x)

＜x，f′（x）＜0，
∴f（x）＞0．
∵h（x）=

x

f(x)

為（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴

2

f(2)

＜

3

f(3)

?

2f(3)-3f(2)

f(2)•f(3)

＜0?2f（3）-3f（2）＜0?2f（3）＜3f（2），故A不正確；
由

3

f(3)

＜

4

f(4)

，∴3f（4）＜4f（3）．B正確；
不能判斷2f（3）與3f（4）的大小，可排除C；
故選：B．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得[

x

f(x)

]′＜0是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分析推理能力，屬于中檔題．