已知二項式(
x
2
-
1
3x
)n(n∈N*)
的展開式中第3項的系數(shù)與第1項的系數(shù)的比是144:1.
(Ⅰ)求展開式中所有的有理項;
(Ⅱ)求展開式中二項式系數(shù)最大的項以及系數(shù)絕對值最大的項.
(Ⅰ)二項式(
x
2
-
1
3x
)
n
的通項公式為:Tr+1=(-1)r(
1
2
)
n-r
Crn
xn-
4r
3
(0≤r≤n,r∈N*),
∵第3項的系數(shù)與第1項的系數(shù)的比是144:1,
(-1)2(
1
2
)
n-2
C2n
(-1)0(
1
2
)
n-0
C0n
=
144
1
,即
C2n
=36,解得n=9或n=-8(舍去).
從而通項公式為:Tr+1=(-1)r(
1
2
)
9-r
Cr9
x9-
4r
3
(0≤r≤9,r∈N*),
當(dāng)r=0,3,6,9時,所有的有理項為T1=x9;T4=-
21
16
x5;T7=21x;T10=-
1
x3

(Ⅱ)∵n=9,展開式共有10項,
∴二項式系數(shù)最大的項為T5=
63
16
x
11
3
和T7=21x.
展開式中第r-1項,第r項,第r+1項的系數(shù)絕對值分別為:(
1
2
)10-r
Cr-19
,(
1
2
)9-r
Cr9
,(
1
2
)8-r
Cr+19

若第r項的系數(shù)的絕對值最大,則必須滿足:
(
1
2
)9-r
Cr9
≥(
1
2
)10-r
Cr-19
(
1
2
)9-r
Cr9
≥(
1
2
)8-r
Cr+19
,即
2
Cr9
Cr-19
Cr9
≥2
Cr+19
,
解得:
17
3
≤r≤
20
3
,又r∈N,所以r=6.
∴系數(shù)絕對值最大的項為T7=21x.
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1
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x
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1
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