Question

如圖，AB是⊙O的一條直徑，過A作⊙O的切線，在切線上取一點(diǎn)C，使AC=AB，連接OC，與⊙O交于點(diǎn)D，BD的延長線與AC交于點(diǎn)E，求證：
（Ⅰ）∠CDE=∠DAE；
（Ⅱ）AE=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用弦切角定理能證明∠CDE=∠DAE． 
（Ⅱ）由已知條件，推導(dǎo)出△CDE∽△CAD，進(jìn)而得到△ADE∽△BAE，由此能夠證明AE=CD．

解答： 證明：（Ⅰ）如圖，∵∠CDE=∠ODB=∠OBD，
AC與⊙O切于點(diǎn)A，AD是弦，
∴∠DAE=∠OBD
∴∠CDE=∠DAE． …（5分）
（Ⅱ）∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD
∴

CD

AC

=

DE

AD

，∴CD=AC•

DE

AD

…①
而△ADE∽△BAE，∴

DE

AD

=

AE

AB

…②
由①②得CD=AC•

AE

AB

又∵AC=AB，∴AE=CD． …（10分）

點(diǎn)評：本題考查角的相等、線段長相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意弦切角定理、相似三角形等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．