如圖,在矩形ABCD中,點E為邊AD上的點,點F為邊CD的中點,AB=AE=
2
3
AD
,現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.
(Ⅰ) 求證:平面PBE⊥平面PEF;
(Ⅱ) 求二面角E-PF-C的大小.
考點:用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用
分析:(I)由題設(shè)條件推導(dǎo)出EF⊥BE,從而得到EF⊥平面PBE,由此能證明平面PBE⊥平面PEF.
(II)設(shè)AD=3,以D為原點,以DC方向為x軸,以ED方向為y軸,以與平面EBCD向上的法向量同方向為z軸,建立坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E-PF-C的大。
解答: (I)證明:在Rt&△DEF中,
∵ED=DF,∴∠DEF=45°,
在Rt△ABE中,∵AE=AB,∴∠AEB=45°,
∴∠BEF=90°,∴EF⊥BE,(3分)
∵平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE∩平面BCDE=BE,
∴EF⊥平面PBE,
∵EF?平面PEF,
∴平面PBE⊥平面PEF.(6分)
(II)解:由題意,不妨設(shè)AD=3,
以D為原點,以DC方向為x軸,以ED方向為y軸,
以與平面EBCD向上的法向量同方向為z軸,建立坐標(biāo)系.(7分)
∵在矩形ABCD中,點E為邊AD上的點,點F為邊CD的中點,AB=AE=
2
3
AD

E(0,-1,0),P(1,-2,
2
),F(xiàn)(1,0,0),C(2,0,0)

EP
=(1,-1, 
2
),
CP
=(-1,-2, 
2
), 
FP
=(0,-2, 
2
)

設(shè)平面PEF和平面PCF的法向量分別為
n1
=(x1,y1,z1),
n2
=(x2,y2,z2).
n
1
EP
=0
n
1
FP
=0
,
得到
x1-y1+
2
z1=0
-2y1+
2
z1=0
,∴
n1
=(1,-1,-
2
)

又由
n2
CP
=0
n2
FP
=0

得到
-x2-2y2+
2
z2=0
-2y2+
2
z2=0
,∴
n2
=(0,1,
2
)
,(9分)|cos<n1,n2>|=
|0-1-2|
1+1+2
1+2
=
3
2
,(11分)
綜上所述,二面角E-PF-C大小為150°.(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1、F2,P為右支上一點,點Q滿足
F1Q
1
QP
(λ1>0)且|
F1Q
|=2a,雙曲線上的點T滿足:
F2T
2
TQ
,
PT
F2Q
=0,則|OT|的值為( 。
A、4a
B、2a
C、a
D、
a
2

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如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,AB⊥BC,平面PAB⊥平面ABC,E為AC的中點.
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(2)求平面APB與平面EPB夾角的余弦值.

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如圖,在幾何體ABC-A1B1C1中,點A1,B1,C1在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A,B,C,且AB⊥BC,AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E為AB1中點,
(Ⅰ)求證;CE∥平面A1B1C1,
(Ⅱ)求證:求二面角B1-AC1-C的大小.

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定點A(-1,-
3
)在定圓x2+y2=4上,且A對于動弦BC的張角為30°,求△ABC面積最大值與此時B,C的坐標(biāo).

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如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AE⊥平面ABCD,EF∥CD,BC=CD=AE=EF=
1
2
AD
=1.
(Ⅰ)求證:CE∥平面ABF;
(Ⅱ)求證:BE⊥AF;
(Ⅲ)在直線BC上是否存在點M,使二面角E-MD-A的大小為
π
6
?若存在,求出CM的長;若不存在,請說明理由.

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如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上不同于A、B的一點,∠BAC=45°,點V是圓O所在平面外一點,且VA=VB=VC,E是AC的中點.
(Ⅰ)求證:OE∥平面VBC;
(Ⅱ)求證:VO⊥面ABC;
(Ⅲ)已知θ是平面VBC與平面VOE所形成的二面角的平面角,且0°<θ<90°,若OA=OV=1,求cosθ的值.

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如圖,AB是⊙O的一條直徑,過A作⊙O的切線,在切線上取一點C,使AC=AB,連接OC,與⊙O交于點D,BD的延長線與AC交于點E,求證:
(Ⅰ)∠CDE=∠DAE;
(Ⅱ)AE=CD.

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