Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)，AB=AE=

2

3

AD，現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（Ⅰ） 求證：平面PBE⊥平面PEF；
（Ⅱ） 求二面角E-PF-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（I）由題設(shè)條件推導(dǎo)出EF⊥BE，從而得到EF⊥平面PBE，由此能證明平面PBE⊥平面PEF．
（II）設(shè)AD=3，以D為原點(diǎn)，以DC方向?yàn)閤軸，以ED方向?yàn)閥軸，以與平面EBCD向上的法向量同方向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-PF-C的大�。�

解答： （I）證明：在Rt&△DEF中，
∵ED=DF，∴∠DEF=45°，
在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，
∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，（3分）
∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
∵EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）
（II）解：由題意，不妨設(shè)AD=3，
以D為原點(diǎn)，以DC方向?yàn)閤軸，以ED方向?yàn)閥軸，
以與平面EBCD向上的法向量同方向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系．（7分）
∵在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)，AB=AE=

2

3

AD，
∴E(0，-1，0)，P(1，-2，

2

)，F(xiàn)(1，0，0)，C(2，0，0)，
∴

EP

=(1，-1， 

2

)，

CP

=(-1，-2， 

2

)， 

FP

=(0，-2， 

2

)．
設(shè)平面PEF和平面PCF的法向量分別為

n1

=（x₁，y₁，z₁），

n2

=（x₂，y₂，z₂）．
由

n

1•

EP

=0及

n

1•

FP

=0，
得到

x1-y1+ 2 z1=0 -2y1+ 2 z1=0

，∴

n1

=(1，-1，-

2

)．
又由

n2

•

CP

=0及

n2

•

FP

=0，
得到

-x2-2y2+ 2 z2=0 -2y2+ 2 z2=0

，∴

n2

=(0，1，

2

)，（9分）|cos＜n1，n2＞|=

|0-1-2|

1+1+2 • 1+2

=

3

2

，（11分）
綜上所述，二面角E-PF-C大小為150°．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．