Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C₁：

|x|

a

+

|y|

b

=1（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為4

2

，曲線C₁上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為

2 2

3

．以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C₂．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過(guò)橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點(diǎn)（與O不重合）．
①若MO=2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）曲線C₁所圍成的圖形為菱形，由菱形的面積為4

2

，結(jié)合原點(diǎn)到菱形一邊的距離為

2 2

3

列關(guān)于a，b的方程組，求解后得橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①AB為過(guò)橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，則l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)出A點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)，
由MO=2OA，可得|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0，由此把A的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，然后把A的坐標(biāo)代入橢圓方程求得點(diǎn)M的軌跡方程；
②法1、設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由OM和OA垂直，把A的坐標(biāo)用參數(shù)λ和M的坐標(biāo)表示，然后利用兩點(diǎn)都在橢圓上列式，整體運(yùn)算把M的坐標(biāo)用參數(shù)λ表示，代入三角形的面積公式后轉(zhuǎn)化為含有λ的代數(shù)式，然后利用基本不等式求△AMB的面積的最小值．
法2、分AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時(shí)直接求解，斜率存在時(shí)，設(shè)出AB所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得AB長(zhǎng)度的平方，在寫(xiě)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后求得M的坐標(biāo)，求得OM長(zhǎng)度的平方，然后寫(xiě)出△AMB的面積的平方，利用基本不等式求得△AMB的面積的平方后面積的最小值可求．

解答： 解：（1）由

|x|

a

+

|y|

b

=1，得

x a + y b =1(x≥0，y≥0) - x a + y b =1(x＜0，y≥0) x a - y b =1(x≥0，y＜0) - x a - y b =1(x＜0，y＜0)

，
又a＞b＞0，
∴曲線C₁如圖，

則

2ab=4 2 ab a2+b2 = 2 2 3

，解得a²=8，b²=1．
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+y2=1；
（2）①設(shè)M（x，y），A（m，n），
則由題設(shè)知：|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0．
即

x2+y2=4(m2+n2)  mx+ny=0

，
解得

m2= 1 4 y2  n2= 1 4 x2

，
∵點(diǎn)A（m，n）在橢圓C₂上，
∴

m2

8

+n2=1，
即

( y 2 )2

8

+(

x

2

)2=1，亦即

x2

4

+

y2

32

=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

32

=1；
②（方法1）設(shè)M（x，y），則A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
∵點(diǎn)A在橢圓C₂上，
∴λ²（y²+8x²）=8，即y2+8x2=

8

λ2

（i）
又x²+8y²=8（ ii）
（i）+（ ii）得x2+y2=

8

9

(1+

1

λ2

)，
∴S△AMB=OM•OA=|λ|(x2+y2)=

8

9

(|λ|+

1

|λ|

)≥

16

9

．
當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1（即k_AB=±1）時(shí)，(S△AMB)min=

16

9

．
（方法2）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，
設(shè)AB所在直線方程為y=kx（k≠0）．
解方程組

x2 8 +y2=1  y=kx

得xA2=

8

1+8k2

，yA2=

8k2

1+8k2

，
∴OA2=xA2+yA2=

8

1+8k2

+

8k2

1+8k2

=

8(1+k2)

1+8k2

，AB2=4OA2=

32(1+k2)

1+8k2

．
又

x2 8 +y2=1 y=- 1 k x

解得xM2=

8k2

k2+8

，yM2=

8

k2+8

，
∴OM2=

8(1+k2)

k2+8

．
由于S△AMB2=

1

4

AB2•OM2=

1

4

×

32(1+k2)

1+8k2

×

8(1+k2)

k2+8

=

64(1+k2)2

(1+8k2)(k2+8)

≥

64(1+k2)2

( 1+8k2+k2+8 2 )2

=

64(1+k2)2

81 4 (1+k2)2

=

256

81

，
當(dāng)且僅當(dāng)1+8k²=k²+8時(shí)等號(hào)成立，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)△AMB面積的最小值是S_△AMB=

16

9

． 
當(dāng)k=0，S_△AMB=

1

2

×4

2

×1=2

2

＞

16

9

；
當(dāng)k不存在時(shí)，S_△AMB=

1

2

×2

2

×2=2

2

＞

16

9

．
綜上所述，△AMB面積的最小值為

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，在求△AMB的面積的最小值時(shí)，運(yùn)用了一題多解的辦法，方法1充分體現(xiàn)了向量在解決問(wèn)題中的靈活性，方法2是學(xué)生容易想到的辦法，但運(yùn)算量過(guò)大，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力，兩種方法都涉及到利用基本不等式求最值，是壓軸題．