在△ABC中,a、b、c分別為角ABC的對(duì)邊,已知向量
p
=(a+b,c),
q
=(b-a,c-b),且|
p
+
q
|=|
p
-
q
|,
(1)求角A的值;
(2)若a=
3
,設(shè)角B的大小為x,△ABC的周長(zhǎng)為y,求y=f(x)的值域.
分析:(1)由條件可得b2+c2-a2-bc=0,利用余弦定理求出cosA=
1
2
,從而得到角A的值.
(2)由A=
π
3
及a=
3
,利用正弦定理可得
3
sin
π
3
=
b
sinx
=
c
sin(
3
-x)
,求出b、c的值,根據(jù)兩角和差的正弦公式,化簡(jiǎn)周長(zhǎng)y=a+b+c為
3
+2
3
sin(x+
π
6
),再根據(jù)
x的范圍及正弦函數(shù)的定義域和值域求出 y=f(x)的值域.
解答:解:(1)∵向量
p
=(a+b,c),
q
=(b-a,c-b),且|
p
+
q
|=|
p
-
q
|,
p
2
+
q
2
+2
p
q
=
p
2
+
q
2
-2
p
q
,∴
p
q
=0,
即 (a+b )(b-a)+c(c-b)=0,∴b2+c2-a2-bc=0.
△ABC中,由余弦定理可得 cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
,∴A=
π
3

(2)由A=
π
3
及a=
3
,利用正弦定理可得
3
sin
π
3
=
b
sinx
=
c
sin(
3
-x)
,
∴b=2sinx,c=2sin(
3
-x
),0<x<
3

∴周長(zhǎng)y=a+b+c=
3
+2sinx+2 sin(
3
-x
)=
3
+2sinx+2 (
3
2
cosx+
1
2
sinx)=
3
+2
3
 sin(x+
π
6
).
∵0<x<
3
,∴
π
6
<x+
π
6
6
1
2
<sin(x+
π
6
)≤1,∴
3
<2
3
sin(x+
π
6
)≤2
3
,2
3
<y≤3
3

故 y=f(x)的值域?yàn)椋?
3
,3
3
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域,兩角和差的正弦公式,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對(duì)稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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