Question

已知O為銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10，

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，則邊BC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于三角形外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線，與這條邊垂直，所以分別取邊AB，AC的中點(diǎn)D，E，并連接OD，OE．由于AO是△AOD和△AOE的公共邊，現(xiàn)在Rt△AOD中，cos∠OAD=

| AD |

| AO |

=

1

2

•

| AB |

| AO |

，這樣表示出cos∠OAD之后，再求一下

AO

•

AB

，結(jié)果求出來(lái)是18，同樣的辦法去求

AO

•

AC

．對(duì)

AO

=x

AB

+y

AC

的兩邊同乘以

AB

，會(huì)得到關(guān)于x，y，cos∠BAC的一個(gè)等式；同樣的辦法，對(duì)其兩邊同乘以

AC

，又可以得到一個(gè)等式，結(jié)合條件2x+10y=5便可解出cos∠BAC．這時(shí)候，就可以用余弦定理求BC邊了．

解答： 解：分別取AB，AC的中點(diǎn)為D，E，并連接OD，OE，根據(jù)條件有：OD⊥AB，OE⊥AC；
在Rt△OAD中，cos∠OAD=

| AD|

| AO |

=

1

2

•

| AB |

| AO |

=

3

| AO |

；
∴

AO

•

AB

=|

AO

||

AB

|cos∠OAD=|

AO

|•6•

3

| AO |

=18；
同理可得，

AO

•

AC

=50；
∴

AO

•

AB

=x

AB

•

AB

+y

AC

•

AB

=36x+60ycos∠BAC   ①

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+y

AC

•

AC

=60xcos∠BAC+100y    ②
又2x+10y=5                                   ③
∴由①②③解得cos∠BAC=

1

3

；
由余弦定理得：BC2=36+100-2×6×10×

1

3

=96，∴BC=4

6

．
故答案為：4

6

．

點(diǎn)評(píng)：求解本題的關(guān)鍵就是求

AO

•

AB

，

AO

•

AC

，并對(duì)

AO

=x

AB

+y

AC

的兩邊分別乘以

AB

，

AC

，所以這樣就會(huì)出現(xiàn)cos∠BAC，然后建立關(guān)于cos∠BAC的等式，從而解出它來(lái)．