Question

已知函數(shù)f（x）=a^X，（a＞0且a≠1），若函數(shù)g（x）的圖象和函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，且h（x）=g[（a-1）x+2]．
（1）求h（x）的定義域；
（2）當(dāng)x∈[3，4]時，h（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的意義得出（a-1）x＞-2，且a≠1，分類討論求解不等式即可．
（2）f（x）有意義得：

a＞0 3(a-1)+2＞0 4(a-1)+2＞0

，解得：a＞

1

2

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論當(dāng)

1

2

＜a＜1時，②當(dāng)a＞1時，求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^X，（a＞0且a≠1），若函數(shù)g（x）的圖象和函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱
∴g（x）=log_ax，
∵h(yuǎn)（x）=g[（a-1）x+2]．
∴h（x）=log_a（（a-1）x+2），
∵（a-1）x+2＞0，
∴（a-1）x＞-2，且a≠1，
①當(dāng)a-1＞0，即a＞1時，x＞

-2

a-1

，
定義域為（

-2

a-1

，+∞），
②當(dāng)

a-1＜0 a＞0

，即0＜a＜1時，x＜

-2

a-1

，
綜上；當(dāng)a＞1時，定義域為（

-2

a-1

，+∞），
0＜a＜1時，定義域為（-∞，

-2

a-1

）
（2）當(dāng)x∈[3，4]時，f（x）有意義得：

a＞0 3(a-1)+2＞0 4(a-1)+2＞0

，
解得：a＞

1

2

，
①當(dāng)

1

2

＜a＜1時，
由h（x）＞0恒成立得：（a-1）x+2＜1，在x∈[3，4]上恒成立，
∴a＜1-

1

x

恒成立，∴a＜

2

3

∴

1

2

＜a＜

2

3

，
②當(dāng)a＞1時，
由h（x）＞0恒成立得：：（a-1）x+2＞1，在x∈[3，4]上恒成立，
∴a＞1-

1

x

，
∴a＞1，
綜上：a∈（

1

2

，

2

3

）∪（1，+∞）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運用最值，單調(diào)性求解不等式的恒成立問，屬于中檔題，難度不大．