Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的最小值；
（3）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N．試問：曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由a＞0，定義域為（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＜0時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點-

1

2a

，1，分-

1

2a

＞1，

1

2

≤-

1

2a

≤1，-

1

2a

＜

1

2

討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，最后表示為關(guān)于a的分段函數(shù)；
（3）設(shè)出線段AB的中點M的坐標(biāo)，得到N的坐標(biāo)，由兩點式求出AB的斜率，再由導(dǎo)數(shù)得到曲線C過N點的切線的斜率，由斜率相等得到ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，令

x2

x1

=t后構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

 (t＞1)
由導(dǎo)數(shù)證明ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

不成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
∴f′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x₂=1，
①當(dāng)-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴f（x）在[

1

2

，1]上的最小值為f（1）=1-a．
②當(dāng)

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

時，
f（x）在[

1

2

，-

1

2a

]上是減函數(shù)，在[-

1

2a

，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f(-

1

2a

)=1-

1

4a

+ln(-2a)．
③當(dāng)-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1時，f（x）在[

1

2

，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f(

1

2

)=

1

2

-

3

4

a+ln2．
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的最小值為：
f(x)min=

1 2 - 3 4 a+ln2      a＜-1 1- 1 4a +ln(-2a)  -1≤a≤- 1 2 1-a                     - 1 2 ＜a＜0

（3）設(shè)M（x₀，y₀），則點N的橫坐標(biāo)為x0=

x1+x2

2

，
直線AB的斜率k1=

y1-y2

x1-x2

=

1

x1-x2

[a(x12-x22)+(1-2a)(x1-x2)+lnx2-lnx1]
=a(x1+x2)+(1-2a)+

lnx2-lnx1

x1-x2

，
曲線C在點N處的切線斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1-2a)-

1

x0

=a(x1+x2)+(1-2a)-

2

x1+x2

，
假設(shè)曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則k₁=k₂，
即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，
∴ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，
不妨設(shè)x₁＜x₂，

x2

x1

=t＞1，則lnt=

2(t-1)

1+t

，
令g(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

 (t＞1)，則g′(t)=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt=

2(t-1)

1+t

不成立，
∴曲線C在點N處的切線不平行于直線AB．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明等式恒成立問題，特別是對于（3）的證明，要求學(xué)生較強的應(yīng)變能力，是壓軸題．