如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC=AB=2
2
，E為AB的中點，點F在BC 上，且EF⊥BC．現(xiàn)沿EF 將△BEF 折1起到△PEF的位置，使PF⊥CF，點D 在PC上，且PD=
1
2
DC．
（1）求證：AD∥平面PEF；
（2）求二面角A-PC-F的余弦值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）建立以F為原點，分別以FC、FE、FP所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標系，求出平面PEF的一個法向量，由此利用向量法能證明AD∥平面PEF．
（2）求出平面APC的一個法向量和平面PCF的一個法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PC-F的余弦值．
解答： 解：（1）證明：∵EF⊥BC，PF⊥CF，
∴建立以F為原點，分別以FC、FE、FP所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標系，
如右圖所示，則F（0，0，0），C（3，0，0），A（1，2，0），D（1，0，
2
3
），
由題意知
FC
=（3，0，0）為平面PEF的一個法向量，
又∵
AD
=（0，-2，
2
3
），∴
FC
•
AD
=0，
又AD?平面PEF，∴AD∥平面PEF．
（2）解：由（1）知P（0，0，1），E（0，1，0），
∴
n
=（x1，y1，z1），
n
•
PC
=3x1-z1=0
n
•
AC
=2x1-2y1=0
，
令x1=1，解得
n
=（1，1，3）為平面APC的一個法向量，
又∵
FE
=（0，1，0）為平面PCF的一個法向量，
∴cos＜
n
，
FE
＞=
FE
•
n
|
FE
|•|
n
|
=
11
11
，
∴二面角A-PC-F的余弦值為
11
11
．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：（x1-x2）+（x2-x1）（x1x2）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，
AB
=（4，-2，3），
AD
=（-4，1，0），
AP
=（-6，2，-8），則這個四棱錐的高h等于（　　）
A、1B、2C、13D、26

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

調查表明，中年人的成就感與收入、學歷、職業(yè)的滿意度的指標有極強的相關性．現(xiàn)將這三項的滿意度指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標w=x+y+z的值評定中年人的成就感等級：若w≥4，則成就感為一級；若2≤w≤3，則成就感為二級；若0≤w≤1，則成就感為三級．為了了解目前某群體中年人的成就感情況，研究人員隨機采訪了該群體的10名中年人，得到如下結果：
人員編號A1A2A3A4A5
（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）（1，2，1）
人員編號A6A7A8A9A10
（x，y，z）（1，2，2）（1，1，1）（1，2，2）（1，0，0）（1，1，1）
（Ⅰ）若該群體有200人，試估計該群體中成就感等級為三級的人數(shù)是多少？
（Ⅱ）從成就感等級為一級的被采訪者中隨機抽取兩人，這兩人的綜合指標w均為4的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．若|
OA
+
OC
|=
7
，則
OB
與
OC
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設3，4，x是一個鈍角三角形的三邊長，且x是最大邊，則x的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A（3，t）（t＞0）為拋物線C上一點，過點A的直線l交x軸的正半軸于點D，且△ADF為正三角形，則p=（　�。�
A、2B、18
C、2或18D、4或36

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

cos
π
3
-tan
π
4
+
3
4
tan2
π
6
-sin
π
6
+cos2
π
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點P（x，y）在直線x+y=12上運動，則
x2+1
+
y2+16
的最小值為（　�。�
A、
37
+2
13
B、
2
+
137
C、13
D、1+4
16

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